INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: LINEA DE ESPERA

Introducción

Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace

necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.

Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia

Modelo de Formación de Colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

OBJETIVOS

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Elementos Existentes En La Teoría De Colas

Proceso Básico De Colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Fuente De Entrada O Población Potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

NOMENCLATURA

S = número de servidores

n= número de clientes en el sistema

N =número máximo de clientes permitidos en el sistema

A,,t =flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

u,7l =capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema.

E(t)= tiempo promedio de proceso por cliente

V(t)= variancia del tiempo de proceso

E(á) = tiempo promedio entre llegadas

V(a) = variancia del tiempo entre llegadas

CQ = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema

CS`= coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio

Cp = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo.

Pn= probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema

L = número promedio de clientes en el sistema

Lq = número promedio de clientes en la fila

W = tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq= tiempo promedio de permanencia en la fila

p =utilización promedio del servicio

Ct = costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo.

Ce= costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq = costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.
Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.

Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

referencia: Tijms, H.C, "Algorithmic Analysis of Queues", Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003.

FILA

Es el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir

de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados,mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien,mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera.

ECUACIONES GENERALES

Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes:

Utilización del Servicio

Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

Modelo del Sistema de Cola M/M/1

Supuestos